Корректно: тарелка, полная (чего?) борща.
Верно слитное написание: ...и сначала стали жить (=снова).
Правильно: ...начала ХХ века.
Во-первых, потому что слово так освоилось в русском языке. Во-вторых, правильно = это словарная рекомендация.
Правильно: Празднование 45-летия с начала строительства БАМа.