Запятые нужны.
Все названные варианты возможны.
Постановка кавычек зависит от того, что именно перед нами – географическое название (топонимы в кавычки не заключаются) или условное наименование (такие наименования пишутся в кавычках). Насколько можно судить, «Танай» – горнолыжный туристический комплекс, находящийся недалеко от озера Танай; название дано по названию озера. Поэтому: озеро Танай (географическое название, кавычки не нужны), горнолыжный комплекс «Танай», горнолыжный курорт «Танай» (условное наименование заключается в кавычки). Ср.: курорт Карловы Вары (кавычки не ставятся, т. к. перед нами географическое название, Карловы Вары – это город, ставший курортом).
Верно: алькова.
Оба варианта верны.
Возможны оба варианта. Однако если речь идет о школе, в которой учат танцевать один танец (например, танго), то правильно: школа танца.
Запятая нужна. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".