Правильно: приглашает на день рождения (на празднование дня рождения).
В сочетании со словом город слово Олимпия в любом случае является приложением. Правило о склонении названий городов в сочетании со словом город распространяется не только на исконные наименования, но и на давно заимствованные и освоенные. К этой группе и можно отнести слово Олимпия. Поэтому сочетание в городе Олимпии соответствует литературной норме.
Запятая нужна. Если название состоит из двух частей, соединенных союзом или, то перед союзом ставится запятая.
Правильно: мой распрекрасный день рождения.
Т. к. предлог «кроме» употребляется здесь в значении «дополнительно, вдобавок к чему-либо», допустимо ставить и не ставить запятую. См. в «Справочнике по пунктуации»: КРОМЕ (кого, чего).
Корректно: группа... планировала.
