Правильно: приглашает на день рождения (на празднование дня рождения).
Запятая нужна. Если название состоит из двух частей, соединенных союзом или, то перед союзом ставится запятая.
Т. к. предлог «кроме» употребляется здесь в значении «дополнительно, вдобавок к чему-либо», допустимо ставить и не ставить запятую. См. в «Справочнике по пунктуации»: КРОМЕ (кого, чего).