Правильно: служить Родине-матери.
Запятую ставить не нужно. Объяснение Вы можете прочитать здесь: Постановка запятой при встрече союзов.
Действительно, запятая не нужна. Придаточная часть сложноподчиненного предложения усечена до одного союзного слова как: И я постараюсь рассказывать вам как. См. пункт в) параграфа 115 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).
См. ответ на вопрос № 269217.
Это составное глагольное сказуемое.