Правильно написание с заглавной буквы.
Топонимы в сочетании со словом остров обычно не склоняются. Поэтому верно: на острове Коневец. Подробнее см. в "Письмовнике".
Да оба слова пишутся с большой буквы: Лосиный Остров.
Принципиально возможно, но надо видеть контекст.
Напоказ пишется слитно.