Постановку тире можно объяснить тем, что первая часть предложения образована именительным темы. Обратите внимание, что пояснительный оборот требует обособления запятыми: Стиль модерн, или новый стиль, — так чаще всего называли в России направление в искусстве.

Если девиз приводится дословно, то это цитата: Наш девиз: «Стиль, доступный каждому».

Вместо "наименование" лучше сказать "название".

Просторечие -- разговорная речь малообразованных носителей языка. Просторечие, в отличие от разговорной речи, за рамками литературного языка. Об остальных сдух понятиях Вы можете прочесть в словаре методических терминов (с помощью окна «Искать на Грамоте»).

Возможные варианты: ООО «Стиль» по Вашему запросу направляет документ; ООО «Стиль» в ответ на Ваш запрос направляет документ.

Личное имя в составе таких наименований пишется с прописной буквы. Корректно написание через дефис (с первой несклоняемой частью наименования).

Обратитесь к рубрике "Письмовник": Что такое научный стиль?