Да, могут.
Приведенный Вами пример некорректен.
Порошок (обычно мн.: порошки) - лекарственное вещество определенной дозировки в измельченном виде. См. толково-словообразовательный словарь в окне «Искать на Грамоте».
Среди этих слов есть родственные (однокоренные), близкозначные (кузина), гипероним (родственница) и слово с иным значением (подруга). Это не синонимический ряд.
В некоторых случаях деепричастие не думая может сближаться по значению с наречием и не обособляться.
Нет, следует перестроить фразу, чтобы избежать тавтологии (неоправданного соседства однокоренных слов).