Буквально: не запачкаться, не замараться. В переносном смысле: не запятнать репутацию.
Правильно: Бюджетное учреждение «Центр социального сопровождения "Солнышко"», расположенное...
Запятая ставится.
Богом клянусь — это самостоятельное предложение, а не вводное слово.
Вы надеетесь взять русскую грамматику измором?
Ошибки нет.
Корректно: косметическая фирма "Солнышко". Вторая пара кавычек не нужна.
В этом предложении запятая не нужна.