Правильно: стартап. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.

Кавычки в этом случае не требуются.

Возможны оба варианта.

У несклоняемых иноязычных существительных, оканчивающихся на гласный и обозначающих неодушевленные предметы, часто возникают колебания в родовой принадлежности, т. к. внешний облик слова втягивает их в парадигму среднего рода, а русский синоним или устаревшая форма слова могут подсказывать иное согласование (именно поэтому мы столько спорим о роде слова кофе). Но в данном случае влияние родового слова салат пока сильнее, поэтому в словарях русского языка оливье мужского рода: вкусный оливье.

Литературная норма: помидоров, баклажанов. В разговорной речи допустим вариант баклажан.

Может быть, из языков с огурцом?

Корректно: В столице Орды Сарай аль-Джедиде. 

Можно. Но лучше: Какое масло ты используешь для салата, добавляешь в салат и т. д.