"Справка" не выполняет домашних заданий.
Да, могут.
В некоторых случаях деепричастие не думая может сближаться по значению с наречием и не обособляться.
Приведенный Вами пример некорректен.
Нет, следует перестроить фразу, чтобы избежать тавтологии (неоправданного соседства однокоренных слов).
Пропаганда – распространение и углубленное разъяснение каких-л. идей, учения, знаний среди широких масс населения.