Оба варианта правильны: и шел снег, и падал снег.
Кавычки нужны.
Правильна форма ед. числа.
В значении "двигаться или падать в большом количестве", как указывает "Большой орфоэпический словарь русского языка", нормативно ударение валит и допуст. младш. валит. Интерактивное задание мы поправим, спасибо за внимательность!
Запятая не нужна: при двух однородных членах предложения с повторяющимся союзом и запятая не ставится, если образуется тесное смысловое единство (обычно такие однородные члены не имеют при себе пояснительных слов). Такие смысловые единства образуются словами с ассоциативными (часто антонимическими) связями, что мы и видим в приведенном Вами примере.
Написание раздельное. См. Правила.
Можно сказать: очищать (улицу) от снега, убирать снег. Чистить снег - выражение, возможное в разговорной речи.