Можно поставить двоеточие или запятую. Кавычки не требуются.
Правильно: стартап. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Корректно: скоро открытие новых магазинов.
Правильно: стрижка каре.
Согласно «Словарю собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко (М., 2010), имя композитора не склоняется: (балеты) Кара Караева.
Запятая нужна в обоих случаях.
Таким документом является словарь личных имен, в котором зафиксированы соответствующие имена.