Правильно: Как месяц ни свети, а всё не солнышко.
С прописной буквы Сеть пишется, если речь идет об Интернете. Если имеется в виду сотовая сеть, правильно написание строчными: абонент снова в сети.
Следует писать все строчными буквами.
См. ответ на вопрос № 282388.
Оба варианта верны.
Следует написать раздельно.
В предложном падеже варианты в сети и в сети равноправны. В родительном, дательном падеже единственного числа и в именительном падеже множественного числа правильно: сети.
В значении "учиться вместе", "сидеть рядом" - сидеть за одной партой.