Правильно: услуги сети, поиск сети.
Оба варианта верны.
Орфографически правильно: Зелик. Правило таково: суффикс -ик при склонении сохраняет гласный звук, суффикс -ек имеет беглый гласный, например: листик - листика, но: краешек - краешка. Поэтому: Зелик – Зелика.
Корректно: контроль за использованием сети.
Оба варианта верны.
В предложном падеже варианты в сети и в сети равноправны. В родительном, дательном падеже единственного числа и в именительном падеже множественного числа правильно: сети.