Нет, в современном русском литературном языке помидор – только мужского рода: спелый помидор. Но можно сказать спелая помидорина.
Лучше: ...села Казарка.
Корректны второй и третий варианты, предпочтителен второй.
вы написали верно. См. «Письмовник».
Эти определения можно рассматривать как однородные и разделить запятой.
Литературная норма требует склонять название в сочетании с родовым словом: в селе Родном, у села Родного. Но в речи официальной, канцелярской географические названия в функции приложения чаще остаются несклоняемыми.
Название Экажево без родового слова должно склоняться, так как оно образовано по русской модели с помощью суффикса -ов(о) и связано с именем Экаж и фамилией Экажев (ср. Иваново, Павлово). Однако топонимы на -ово в живой речи обнаруживают тенденцию к утрате склонения. Подробнее об этом можно прочитать в разделе «Азбучные истины».
Название праздника День города пишется с большой буквы, такова рекомендация словарей и справочников. По аналогии также уместно писать с большой буквы и День села (праздник).
Прилагательное от Белая Церковь – белоцерко́вский.
