Постановку тире можно объяснить тем, что первая часть предложения образована именительным темы. Обратите внимание, что пояснительный оборот требует обособления запятыми: Стиль модерн, или новый стиль, — так чаще всего называли в России направление в искусстве.

Если девиз приводится дословно, то это цитата: Наш девиз: «Стиль, доступный каждому».

В «Большом толковом словаре русского языка» под ред. С. А. Кузнецова слово тойота зафиксировано как существительное женского рода (см. словарную фиксацию).  

Вместо "наименование" лучше сказать "название".

Просторечие -- разговорная речь малообразованных носителей языка. Просторечие, в отличие от разговорной речи, за рамками литературного языка. Об остальных сдух понятиях Вы можете прочесть в словаре методических терминов (с помощью окна «Искать на Грамоте»).

Возможные варианты: ООО «Стиль» по Вашему запросу направляет документ; ООО «Стиль» в ответ на Ваш запрос направляет документ.

Правильно: стиль барокко, стиль модерн. Без родового названия модерн склоняется: архитектура модерна.

Стиль милитари по аналогии можно писать без кавычек.

Обратитесь к рубрике "Письмовник": Что такое научный стиль?