Литературная норма: помидоров, баклажанов. В разговорной речи допустим вариант баклажан.

Эту фамилию нужно склонять.

Может быть, из языков с огурцом?

В обоих случаях корректно слитное написание.

Верно: класть, но положить.

Возможны оба варианта.

У несклоняемых иноязычных существительных, оканчивающихся на гласный и обозначающих неодушевленные предметы, часто возникают колебания в родовой принадлежности, т. к. внешний облик слова втягивает их в парадигму среднего рода, а русский синоним или устаревшая форма слова могут подсказывать иное согласование (именно поэтому мы столько спорим о роде слова кофе). Но в данном случае влияние родового слова салат пока сильнее, поэтому в словарях русского языка оливье мужского рода: вкусный оливье.

Можно. Но лучше: Какое масло ты используешь для салата, добавляешь в салат и т. д.

Мужская фамилия Салий склоняется (Салия, Салию и т. д.), женская – нет.