Правильно с прописной: это Сашина (Лилина, Петина) шляпа.
В значении приуроченности к какому-либо событию, празднику: ко Дню района. Подробнее см. в «Письмовнике».
Рекомендуем такой вариант: передало в собственность Аургазинского муниципального района Республики Башкортостан.