Дверь, которая может сдвигаться, называется сдвижной. Слово существует.
Такое употребление может встречаться в непринужденной разговорной речи, но по правилам литературного языка верно: Найди что-нибудь, чтобы сломать дверь.
Правильно: дверями и дверьми.
Возможны оба варианта, выбор может зависеть от контекста.