Использовать кавычки не обязательно, если их отсутствие не будет мешать пониманию смысла текста.
Возможно грамматическое согласование в мужском и женском роде.
Такое сочетание возможно, но только в разговорной речи.
Это слово пока не зафиксировано в нормативных словарях русского языка, поэтому пока нельзя говорить о «правильном» и «неправильном» написании. Слово продолжает осваиваться языком.
Пишем раздельно.
Да, такое написание зафиксировано в словаре.
Корректно: Гаврилово-Посадский район.