Оба слова пишутся с прописной только при официальном титуловании, в остальных случаях – со строчной: папа римский Иоанн Павел II, выборы папы римского.
Если говорить о термине "современный русский язык", то под ним обычно понимают язык начиная со второй половины 20-го века.