Имя куклы Барби пока не перешло в разряд нарицательных, как, например, петрушка, и пишется с заглавной буквы без кавычек, см. словарную фиксацию. В сочетании играть в Барби по аналогии с играть в куклы имя используется в переносном значении, как название игры. Пока и при таком употреблении заглавную букву нужно сохранять. Подобные примеры в практике письма встречаются, но они немногочисленны.
Запятая поставлена правильно.
Оба варианта возможны.
Вы правы, фраза стилистически неудачна.
Предпочтителен вариант с предлогом ЗА.
Да, правильно.