Правильно со строчной: глава города.
Существительное Интернет пишется с прописной или строчной буквы, сложные слова с первой частью интернет... обычно пишутся строчными.
См. в «Письмовнике».
Кубок пишется с прописной как первое слово названий спортивных наград, соревнований: Кубок Дэвиса, Кубок России по футболу. Ср.: Межконтитентальный кубок (не первое слово названия), пить победное шампанское из кубка (здесь кубок в знач. 'сосуд').
Верно написание со строчной: интернет-образование.
Сокращенные наименования министерств пишутся с большой буквы: Минрегион, Минздрав, Минфин и т. п.