Кавычки не требуются. Слово пробиться в значении "после долгих усилий достичь хорошего общественного положения" зафиксировано в словарях.
Обособление не требуется: Приглашаем студентов ФГБОУ «Ромашка» Иванова И. К., Петрова О. И. принять участие в финальном туре конкурса.