Корректно: брать напрокат, сдавать в прокат.
Верно (в документах): проект Федерального закона "Такого-то". В публицистике возможно написание со строчной: проект федерального закона.
Если нет причастия направленный, предлог на здесь неуместен. Возможный вариант: проект по поддержке, развитию.
Эти варианты различаются по значению, дать рекомендации без контекста затруднительно.
Разницы нет: оба варианта неудачны. Обычно говорят о завершении проекта, завершении работ по проекту.
Правилен второй вариант. См. «Письмовник».
Правильно: Северо-Каспийский проект.
Запятые не нужны.