Да, возможны оба варианта.
Это название следует писать в кавычках.
Правильно: испокон веков. Слово испокон происходит от древнерусского поконъ 'начало', того же корня, что искони 'вначале', конец. О родстве слов начало и конец см. в ответе на вопрос № 208821.
Вполне.
Правильно: Ни минуты покоя (нет). Теоретически возможно: Не минуты покоя (а часы).
Корректно слитное написание, как у всех слов с частью промо.
Правильно: промок под дождем.