Запятая нужна, так как союз и соединяет части сложносочинённого предложения. Часть если хозяин не найдётся непосредственно относится только к части хлам перейдёт в муниципальную собственность.
Корректны варианты прыгать через скакалку и прыгать со скакалкой.
Верно: одну третью долю дома и одну треть дома.