Да, это равноправные варианты.
Указанная запятая не нужна.
Провести – многозначное слово, у него есть и другие значения, помимо приведенных Вами. См. словарную статью.
Запятые не нужны.
Пунктуация в предложении верна.
Написание объясняется историей слова (шлифовать – от польского szlifovać, которое восходит к немецкому schleifen 'точить, шлифовать'), а проверяется в словарном порядке (по орфографическому словарю).
Написание проверяется в словарном порядке.