Корректно: трансляция из суда (из помещения), трансляция заседания суда (самого процесса).
С названием Пхукет чаще употребляется предлог на (очевидно, поскольку это остров), однако и предлог в довольно частотен (возможно, поскольку это еще и провинция, а также город).
"Справка" не выполняет домашних заданий.
Возможны варианты: работает во ФГУП (в организации), работает на ФГУП (на предприятии).
Предлоги синонимичны (оба подразумевают включение обозначаемой даты в соответствующий срок). При необходимости уточнения пишут также "до... включительно".
Мы рекомендуем использовать предлог на в обоих предложениях.
Возможно: справка о чем-либо, например: справка о состоянии здоровья, справка о регистрации.