Эти варианты равнозначны, можно использовать любой из них.
Корректно без запятой. Как правило, запятая после присоединительного союза и перед подчинительным союзом не ставится.
Если это обращение к неопределенному кругу лиц или к нескольким лицам, то следует писать со строчной буквы. При вежливом обращении к одному лицу - с прописной.
В этом предложение отсутствует грамматический параллелизм однородных членов предложения. Корректно: Побывать в Тульской области и не посетить знаменитые Романцовские горы или Побывав в Тульской области, не посетить знаменитые Романцовские горы…