Можно считать инфинитив частью сказуемого.

От доски до доски – от начала до конца; целиком. Выражение связано с переплетным делом. Старинные рукописные книги для сохранности покрывали деревянными переплетами, которые обтягивались кожей или дорогой материей. Поэтому первоначальный смысл оборота прочесть от доски до доски – прочесть от первой страницы до последней. Ср.: от корки до корки.

Об этом нужно спросить у того, кто изрек данное выражение. Оно попросту безграмотно.

Перед союзом и нужен знак – запятая либо тире.

Знаки препинания стоят верно.

Допустимо.

Запятая не нужна, но надо поставить тире: Девица голосила: «Иди сюда!» – и пыталась поймать кота.

Поймать кураж – разговорное выражение. Его употребление в тексте газетной статьи зависит от общей стилистики текста: если статья содержит какую-либо сухую, официальную информацию, такое выражение вряд ли может быть в ней уместно. Но если статья не претендует на строгость и сухость, если она ориентирована на своеобразный диалог с читателем, сочетание поймать кураж в ней вполне допустимо.