Предпочтительно (особенно в письменной речи): рапорты. Вариант рапорта разговорный.
Одно из значений слова бумага – 'письменный документ официального характера'. Поэтому возможны оба варианта: бумаги на подпись и документы на подпись.
Предоставить – передать, дать возможность распоряжаться; представить – предъявить, показать, продемонстрировать.
Верно: представить на подпись документ.
Корректно: подпись в графе о получении. Подпись о получении - неудачное сочетание.