Правильно раздельное написание: по их мнению. Обратите внимание: это вводные слова, необходима запятая после слова мнению.
В первом случае местоимение притяжательное, во втором - личное.
В первом примере его – притяжательное местоименное прилагательное (отвечает на вопрос: чей подвиг?)
Во втором примере его – форма винительного падежа личного местоимения он (отвечает на вопрос: наградили кого?).
Согласно «Морфемно-орфографическому словарю русского языка» А. Н. Тихонова, корень подвиг.