Существуют оба слова, причем они различаются по значению. Значение можно уточнить в "Искать на Грамоте" на нашем портале.
Предпочтительно (особенно в письменной речи): рапорты. Вариант рапорта разговорный.
Одно из значений слова бумага – 'письменный документ официального характера'. Поэтому возможны оба варианта: бумаги на подпись и документы на подпись.
Исторически – да, но в современном русском языке приставка в этом слове уже не выделяется.
Предоставить – передать, дать возможность распоряжаться; представить – предъявить, показать, продемонстрировать.
Верно: представить на подпись документ.
Можно так: продлить командировку на один день.