Запятая нужна: Не знаю, куда податься.
Указанная запятая нужна.
Что Вас смущает в этом глаголе? Какие затруднения возникают с его употреблением?
Например: с какой целью? зачем?
Тип спряжения у глаголов с ударными личными окончаниями определяется по окончаниям. Глагол добиться первого спряжения (добьётся, добьются).