Правильно: московское «Динамо».
В обоих случаях не нужна запятая. Текст нужно править (см., например, "с начала основания").
Написание правильно, если официальное название музея – Мемориальный музей космонавтики. Если же прилагательное московский входит в официальное название музея, то правильно: Московский мемориальный музей космонавтики.
Первый вариант предпочтителен.
Словарь допускает оба варианта употребления.