Нужна запятая, но тире не требуется.

Фамилия Забейворота склоняется (и мужская, и женская). Вы написали правильно.

Корректны оба варианта: по факсу и факсом.

Все просто. Чтобы разобраться в вопросе, выделите корни этих слов.

Корректно: Ответа на вопрос "Как перестать быть животным?" в российской картине нет.

Использовать можно, но выражение может быть понято слушателем (читателем) неоднозначно в этом случае.

Нет, такие сочетания не соответствуют нормам современного русского литературного языка, хотя многие лингвисты отмечают экспансию предлога на в разговорной речи. 

"...предлог на, как, например, приставка про- (всякие там пролечить, проплатить), в последнее время замелькал довольно активно: на тюрьме (как на зоне), на вагоне (Кипяток попросите на соседнем вагоне — недавно в поезде услышала), на районе (даже в какой-то рекламе было: У нас на районе никто не зажигает). А мое любимое выражение с предлогом на — на позитиве: Я пришел такой весь на позитиве. Раньше говорили на нервах, на голубом глазу, а теперь еще и на лавэ (то есть, при деньгах). <...> Вот в каком-то блоге обсуждают фотографию приятеля: смотри, мол, какой нарядный, на костюме (далее непечатно). Или вот по поводу дресс-кода: обязательно ли в этой фирме ходить на костюме, на галстуке? Попутно выяснила, что выражение на галстуке есть еще в жаргоне автомобилистов: в смысле машина заглохла, пришлось ехать на галстуке" (И. Левонтина. Русский со словарем. М., 2016). 

Запятая обязательна (она ставится между главным и придаточным предложением).