Во всех этих предложениях нужны запятые.
Правильно: родился в д. Быстрице. Географическое название склоняется в сочетании со словом деревня, если род обоих слов совпадает (т. е. если название женского рода).
Топонимы с родовым словом остров обычно не склоняются: на острове Кипр.
Орфографически правильно: Каймановы Острова. В соответствии с Общероссийским классификатором стран мира название страны – Острова Кайман.
Верно: Прибрежные мегаполисы и некоторые населенные острова, например Мальдивы, будут затоплены.
Запятые расставлены верно.