Да, запятую надо поставить: Пою, пока пеку.
Верно с дефисом: пока-пока.
Запятая нужна. Но союз до тех пор пока требует отрицания. Поэтому верно: До тех пор, пока мелодия не стихла, ни один из нас не двинулся и Пока звучала мелодия, ни один из нас не двинулся.
Ставится запятая перед союзом. Предложение сложноподчиненное.
Постановка запятой не требуется.
Да, название «ОПОРА РОССИИ» в родительном падеже: «ОПОРЫ РОССИИ».