Это дополнение.
Лучше поставить тире: Хочешь – иди гулять, хочешь – оставайся дома.
Запятые не нужны.
Знаки не требуются: Надо так надо. Гулять так гулять.
Это перифраз выражения валять дурака (заниматься ерундой).
Правильно гулять в праздник.
Запятая разделяет части сложного предложения (здесь "что" - самостоятельное неполное предложение, "что будем делать").
Верно: в сквер.