Правильно: США боятся, США заявляют.
Фраза корректна.
Верно только: достичь высот (или добиться высоких результатов).
Возможна постановка тире: Выходные - чтобы общаться.
Корректно: общаться в Интернете, с помощью Интернета, через Интернет.
Запятую ставить не нужно. Объяснение Вы можете прочитать здесь: Постановка запятой при встрече союзов.
Запятая нужна, поскольку оставаясь дома — деепричастный оборот.
Верно: Уже тогда я понимал, что стандартным, привычным для всех путем ничего не добиться.