Как правильно? Первое: Как нивчём не бывало Валя успела положить заключение на стол развернуться спиной к выходу и с умным видом смотреть в монитор. Второе: Как нивчём не бывало Валя успела положить заключение на стол, развернуться спиной к выходу и с умным видом смотреть в монитор. Третье: Как нивчём не бывало, Валя успела положить заключение на стол, развернуться спиной к выходу и с умным видом смотреть в монитор.
Верно: не дать чего. Если речь идет о конкретном предмете, то корректно: не дать -- что? -- эту книгу. В других случаях верно: не дать -- чего? -- ни одного яблока, денег, обещания.