Правильно: Р. п. – Ники, Д. п. – Нике, В. п. – Нику, Т. п. – Никой, П. п. – (о) Нике.

Существует малоупотребительная форма деепричастия ища.

Правильно: в повестях Майн Рида. Это сочетание усеченного имени и фамилии, поэтому компонент Майн  не склоняется. Но если мы пишем имя и фамилию писателя полностью, склоняются все компоненты: Томас Майн Рид – в повестях Томаса Майна Рида.

Очевидно, сочетание на двух человек (а числительные до десяти рекомендуется передавать в словесной форме) относится к слову сертификат. При невозможности передачи в тексте словосочетания сертификат на двух человек название услуги можно сформулировать так: Восхождение двух человек по горному маршруту в сопровождении гида.

Корректно: тейквондо и тхеквондо.

Есть, Вы написали правильно.

На месте вопросительного знака не ставится знак препинания.