Если поздравлять с праздником, то поздравлять нужно с Новым годом. Если же поздравлять с наступлением очередного года, то поздравлять с новым, 2014 годом. Подробнее об этом непростом случае см. ответ на вопрос № 249079.
Лучше: по основным операциям.
Верно: С Новым годом...
См. ответ на вопрос № 272467.
Например: неводить, неводник, неводный, неводок, неводчик, неводьба (см. окно «Искать на Грамоте»).
Правильно: на Неве, на реке Неве, в Москве, в городе Москве. О склонении географических названий см. в «Письмовнике».