В некоторых случаях деепричастие не думая может сближаться по значению с наречием и не обособляться.

Образец заявления см. в «Письмовнике».

Верное написание: постинъекционный.

Нет, следует перестроить фразу, чтобы избежать тавтологии (неоправданного соседства однокоренных слов).

См. в "Справочнике по пунктуации".

Пропаганда – распространение и углубленное разъяснение каких-л. идей, учения, знаний среди широких масс населения.

Корректно: рассчитаться с помощью карты, рассчитаться картой (ср.: рассчитаться наличными).

Наличие разных вариантов разбора может быть связано с тем, что в одних источниках описан современный морфемный состав слова, в других – исторический. С исторической точки зрения в слове начинаться может быть выделена приставка на- и корень -чин-. Но в современном языке приставка в этом слове уже не выделяется, поэтому не будет ошибкой назвать начин- корнем. Далее суффикс -а-, затем формант -ть-, который может быть назван как суффиксом, так и окончанием (единой точки зрения у лингвистов нет). И постфикс -ся.
Информация доступна здесь. 

Запятая нужна.

Вы написали правильно. Употребление подобных фамилий в нарицательном смысле в форме множественного числа не требует замены прописной буквы на строчную.