Это наречие. Но в русском языке есть большое количество наречий (наречных сочетаний), образованных из предложно-падежных форм существительных, написание которых (слитное либо раздельное) определяется лишь письменной традицией и проверяется по орфографическому словарю. К таким наречиям относится и в придачу. Его написание просто нужно запомнить.

Стыдно выполняет роль сказуемого. Строго говоря, это слово категории состояния, а не наречие.

Это наречие. Но и "след" существительного тоже есть, ср.: Холодной ночью...

Части речи не нужно подчеркивать. Подчеркиваются (при синтаксическом разборе) члены предложения.

См. словарную фиксацию.

Предлог: около трех, около дома. Наречие: посиди около.

Это наречие, следует писать раздельно.

Так и есть. Это существительное (работать в онлайне) и наречие (выполнять задания онлайн).