Корректно: Начальнику цеха повторно изготовить детали в соответствии с нарядом.

Сочетание Битва народов (о сражении под Лейпцигом в 1813 году) пишется без кавычек.

Да, нужно обособить: Очевидно, в этом понятии отложились общие для индоиранских и, шире, индоевропейских народов представления.

Не вполне уверены, что слово интеграция употреблено верно в данном предложении. Следует иметь в виду, что интеграция предполагает процесс, поэтому сочетание сложившаяся интеграция кажется некорректным. Если народы уже объединены с остальным обществом и занимают в нем ту или иную позицию, которую нужно сохранить, то лучше написать: при сохранении их сложившейся... роли в обществе.

В случае если процесс интеграции еще не завершен, лучше написать: ...при поддержке их... интеграции в общество.

В приведенных названиях кавычки не нужны. Об употреблении кавычек подробно рассказывается в «Письмовнике».