Правильно: под мышкой (наречие: нести под мышкой, держать под мышкой), но: подмышкой (форма творительного падежа сущ. подмышка).
Мягкий знак писать не нужно.
Что Вы имеете в виду? Случаи типа сиденИе - сиденЬе?
Нет, такая замена правилами не предусмотрена.