Да, слова начало и конец этимологически родственные. Они восходят к одной и той же индоевропейской основе *ken 'появляться, начинать'. Отсюда же слово искони 'вначале'. Слово конец в древнерусском языке имело значение и 'граница' (где что-то кончается и что-то начинается). Объяснить это можно, учитывая представления наших предков о времени. Древние люди считали, что время циклично, поэтому начало и конец – это одна точка на колесе времени.
В этом предложении есть ошибка.
Слово начало в винительном падеже, это второе школьное склонение.
Верно: ФГУП... начало.
Тире необязательно.
Оба оборота корректны.
Можно проверить в окне «Искать на Грамоте».