По правилам 1956 года (де-юре): Всесоюзный Ленинский Коммунистический Союз Молодежи. Но современная орфографическая норма (написание де-факто): Всесоюзный ленинский коммунистический союз молодежи.
Да, с большой буквы в этом сочетании – только слово Коммунистический.
Если это вся фраза, то запятую ставить не нужно.
Корректно писать в соответствии с официальным наименованием – с прописной буквы.